第二版前言
本書(shū)于2016年出版以來(lái)，經(jīng)過(guò)7年的教學(xué)實(shí)踐，在聽(tīng)取讀者反饋的基礎上，本次修訂編者進(jìn)行了以下幾方面的修改。
（1）修正了第一版中的一些打印錯誤。
（2）在第1章引入了受力“方向角”的定義，并把該處理方法應用到全書(shū)，該方法便于學(xué)生理解數學(xué)建模過(guò)程，更好掌握課程內容。
（3）第1章補充了多個(gè)自變量二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)。
（4）第5章在第一版中只介紹了具有軸對稱(chēng)性的球函數，新版增補了一般球函數的內容和應用舉例，供有興趣的同學(xué)參閱。
（5）第6章增補了圓柱形區域內如何利用分離變量法求解三維拉普拉斯方程、三維波動(dòng)方程以及三維熱傳導方程的定解問(wèn)題，討論了Helmholtz方程在球形區域內的求解。
（6）第7章把求解有理函數的拉普拉斯逆變換與高等數學(xué)中的有理函數的不定積分求法對比，以此提高求有理函數拉普拉斯逆變換的速度。
另外，第二版在原有敘述的基礎上引入線(xiàn)性映射來(lái)定義線(xiàn)性微分方程；對偏微分方程的通解做了進(jìn)一步補充；完善了達朗貝爾公式的物理意義。
在此感謝北京化工大學(xué)研究生院對本教材的支持，正是在研究生院教改項目的資助下本書(shū)修訂版才得以完成和出版。本書(shū)的修訂也得到了國家自然科學(xué)基金的資助，借此表示感謝。門(mén)曰陽(yáng)老師在內容修改方面給我提出了許多建議，在此向他表示感謝?；瘜W(xué)工業(yè)出版社的編輯向我提供了許多支持、建議和鼓勵，在此表示感謝。
因水平有限，書(shū)中難免出現疏漏，繼續歡迎廣大讀者給予批評指正。

編者
2023年5月




前言
數學(xué)物理方程課程涉及的專(zhuān)業(yè)有：材料科學(xué)與工程、化學(xué)工程與技術(shù)、動(dòng)力工程及工程熱物理、機械工程等近十個(gè)專(zhuān)業(yè)。目前數學(xué)物理方程的教材有很多，且各有特色。但是，隨著(zhù)專(zhuān)業(yè)學(xué)位招生規模的不斷擴大，迫切需要一本適合工科專(zhuān)業(yè)學(xué)位研究生的“數學(xué)物理方程”教材或參考書(shū)，以適應新的教學(xué)需求。
工科數學(xué)物理方程的教學(xué)最直接的目標是使學(xué)生能夠應用數學(xué)知識解決工程中的實(shí)際問(wèn)題，并由此提升他們學(xué)習數學(xué)的興趣。鑒于此，我們應該在實(shí)際教學(xué)中，結合學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)，多舉一些有實(shí)際背景的例子。為此，本書(shū)在以下五個(gè)方面做了一些嘗試，希望能以此提升學(xué)生的學(xué)習興趣，提高學(xué)習效率，增強解決問(wèn)題的能力。另外，本書(shū)的推導過(guò)程緊扣高等數學(xué)的內容，這樣學(xué)生更易理解。
本書(shū)特點(diǎn)如下。
（1）適當減少數學(xué)的推導證明。過(guò)多的數學(xué)推導會(huì )導致學(xué)生對該課程有恐懼感。大部分工科碩士生的數學(xué)基礎局限于高等數學(xué)，對于大篇幅的推導很不習慣，很排斥。過(guò)多的數學(xué)推導會(huì )使學(xué)生降低甚至喪失學(xué)習興趣，因此，本書(shū)針對工科學(xué)生的數學(xué)基礎刪除了不必要的證明。
（2）數學(xué)模型的導出更詳細。大部分的學(xué)生感興趣的是怎樣把具體問(wèn)題轉化成數學(xué)問(wèn)題。如果對導出過(guò)程講解不詳細，學(xué)生在應用中遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不會(huì )建立數學(xué)模型，這樣很難提出科學(xué)問(wèn)題，因此，本書(shū)在應用隔離物體法導出模型時(shí)，導出過(guò)程非常詳細。
（3）例題的求解過(guò)程更詳細。例題求解過(guò)程不詳細會(huì )直接導致多數同學(xué)覺(jué)得解題無(wú)從下手，沒(méi)有思路，不知如何計算，一算就錯。本書(shū)中所有例題的求解過(guò)程非常詳細，便于同學(xué)解題時(shí)參照。
（4）內容排版重點(diǎn)醒目突出。數學(xué)物理方程的內容多，同學(xué)課后看書(shū)抓不住重點(diǎn)，或找不到關(guān)鍵知識點(diǎn)，因此有必要在內容排版時(shí)突出主要知識點(diǎn)，做到一目了然。本書(shū)把關(guān)鍵知識點(diǎn)，主要定理和主要公式都用邊框加陰影加以標注。
（5）增加應用舉例。根據選課學(xué)生的專(zhuān)業(yè)增加了一些應用舉例，主要涉及材料工程、化學(xué)工程及信息與系統等方面的應用。
另外，本書(shū)在每一章開(kāi)頭列出了本章的基本要求，例題分析，并且求解運算過(guò)程也非常詳細。每節后配有適量的習題，書(shū)后附參考答案和提示，便于讀者參照對比。貝塞爾函數比較抽象，為了便于讀者了解貝塞爾函數的基本性質(zhì)，本書(shū)給出了一些貝塞爾函數的圖形。卷積在工程方面應用很廣，因此，本書(shū)對于卷積的介紹比較多，并盡量用卷積表示定解問(wèn)題的解。另外，為了同學(xué)在學(xué)習中查找方便，本書(shū)在附錄中不僅附有傅里葉變換表和拉普拉斯變換表，而且還附有常用的數學(xué)公式（附錄Ⅰ）、常微分方程中常用的重要結論（附錄Ⅱ）以及傅里葉級數的主要結論（附錄Ⅲ）。
特別感謝北京化工大學(xué)研究生院對本書(shū)的支持，正是在研究生院教改項目的資助下本書(shū)才得以完成和出版。黃晉陽(yáng)教授在內容組織上提出了許多建議，在此向他表示感謝。同時(shí)感謝我的研究生董利君同學(xué)，是他繪制了本書(shū)的所有插圖，并錄入了部分稿件內容。

編者
2016年6月

本書(shū)是根據工科碩士生的專(zhuān)業(yè)需求和數學(xué)基礎而編寫(xiě)的數學(xué)物理方程教材。內容包括偏微分方程的基本概念，數學(xué)物理方程相關(guān)的背景，數學(xué)模型的建立與定解問(wèn)題，定解問(wèn)題的典型求解方法（求通解方法、行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數法以及數值求解法）。另外還介紹了勒讓德多項式、球函數和貝塞爾函數在求解定解問(wèn)題時(shí)的應用。
本書(shū)模型導出過(guò)程詳細，與基礎數學(xué)課程聯(lián)系緊密，突出應用。本書(shū)可作為工科各專(zhuān)業(yè)高年級本科生、研究生的教材，也可作為工程技術(shù)人員的參考用書(shū)。

第1章 數學(xué)物理方程及其定解問(wèn)題 1
1.1波動(dòng)方程及其定解問(wèn)題3
1.1.1波動(dòng)方程的導出3
1.1.2典型定解條件6
1.1.3典型定解問(wèn)題11
習題1.112
1.2熱傳導方程及其定解問(wèn)題13
1.2.1熱傳導方程的導出13
1.2.2典型定解條件15
1.2.3典型定解問(wèn)題17
1.2.4最值原理18
習題1.220
1.3位勢方程及其定解問(wèn)題21
1.3.1位勢方程的導出21
1.3.2位勢方程的典型定解問(wèn)題22
1.3.3最值原理23
習題1.324
1.4定解問(wèn)題的適定性及數學(xué)物理方程的分類(lèi)25
1.4.1定解問(wèn)題的適定性概念25
1.4.2二階偏微分方程的分類(lèi)25
習題1.428

第2章 線(xiàn)性偏微分方程的通解 29
2.1線(xiàn)性偏微分方程解的結構定理29
習題2.130
2.2常系數線(xiàn)性齊次偏微分方程的通解31
習題2.232
2.3常系數線(xiàn)性非齊次偏微分方程的通解32
習題2.335

第3章 行波法 36
3.1一維波動(dòng)問(wèn)題與達朗貝爾公式36
3.1.1無(wú)界弦的自由振動(dòng)36
3.1.2齊次化原理37
3.1.3無(wú)界弦的受迫振動(dòng)38
3.1.4達朗貝爾公式的物理意義43
3.1.5依賴(lài)區間、決定區域、影響區域44
習題3.145
3.2空間波動(dòng)問(wèn)題47
3.2.1函數的球面對稱(chēng)性47
3.2.2齊次波動(dòng)問(wèn)題的泊松公式47
3.2.3非齊次波動(dòng)問(wèn)題的Kirchhoff公式53
3.2.4波動(dòng)問(wèn)題解的物理意義56
習題3.257

第4章 分離變量法 59
4.1Sturm-Liouville本征值問(wèn)題59
4.1.1第一邊值條件的本征值問(wèn)題59
4.1.2混合邊值條件的本征值問(wèn)題60
4.1.3各類(lèi)本征值問(wèn)題小結及級數展開(kāi)61
習題4.162
4.2波動(dòng)方程的定解問(wèn)題63
4.2.1齊次方程的齊次邊值問(wèn)題63
4.2.2級數形式解的物理意義66
4.2.3非齊次方程的齊次邊值問(wèn)題68
4.2.4非齊次方程的第一非齊次邊值問(wèn)題73
習題4.275
4.3熱傳導方程的定解問(wèn)題76
4.3.1齊次方程的第二齊次邊值問(wèn)題76
4.3.2非齊次方程的第二齊次邊值問(wèn)題77
4.3.3非齊次邊值問(wèn)題79
4.3.4混合邊值問(wèn)題舉例81
習題4.384
4.4拉普拉斯方程的定解問(wèn)題85
4.4.1圓域內的第一邊值問(wèn)題85
4.4.2矩形域內的第一邊值問(wèn)題88
習題4.491

第5章 勒讓德多項式、球函數 93
5.1勒讓德多項式93
5.1.1勒讓德方程及其本征值問(wèn)題93
5.1.2勒讓德多項式93
5.1.3勒讓德多項式的母函數與引力勢96
5.1.4勒讓德多項式的性質(zhì)與勒讓德級數98
習題5.1102
5.2勒讓德多項式的應用103
習題5.2108
5.3球函數、連帶勒讓德方程109
5.3.1球函數與連帶勒讓德函數109
5.3.2連帶勒讓德函數和球函數的基本性質(zhì)111
5.3.3球函數應用舉例114
習題5.3116

第6章 貝塞爾函數 117
6.1推廣的Γ-函數117
6.2貝塞爾方程的導出118
6.3貝塞爾方程的通解與貝塞爾函數120
6.4貝塞爾級數展開(kāi)124
6.4.1貝塞爾函數的恒等式124
6.4.2貝塞爾函數的正交性125
6.4.3貝塞爾級數展開(kāi)126
6.5貝塞爾函數的應用128
6.5.1圓形區域128
6.5.2圓柱形區域132
6.5.3球形區域135
習題6.5136

第7章 積分變換法 137
7.1傅里葉積分變換137
7.1.1傅里葉積分公式與傅里葉變換137
7.1.2傅里葉變換的基本性質(zhì)141
7.1.3卷積142
7.1.4多重傅里葉變換145
習題7.1146
7.2拉普拉斯變換146
7.2.1拉普拉斯變換的定義147
7.2.2存在定理及性質(zhì)148
7.2.3反演公式151
習題7.2157
7.3傅里葉變換和拉普拉斯變換的應用158
7.3.1一般定解問(wèn)題158
7.3.2拉普拉斯變換在化學(xué)反應工程中的應用165
7.3.3拉普拉斯變換在材料科學(xué)中的應用170
習題7.3171

第8章 格林函數法 173
8.1δ-函數173
8.1.1δ-函數的定義173
8.1.2δ-函數的物理意義174
8.1.3廣義函數與δ-函數的數學(xué)性質(zhì)175
8.1.4高維δ-函數178
8.1.5δ-函數的傅里葉變換和拉普拉斯變換178
8.1.6δ-函數及其傅里葉變換和卷積運算在通信工程中的應用180
習題8.1182
8.2格林公式及其應用182
8.2.1格林公式183
8.2.2應用舉例183
習題8.2184
8.3位勢問(wèn)題的格林函數185
8.3.1格林函數的概念185
8.3.2位勢方程的第一邊值問(wèn)題187
8.3.3用電像法求格林函數188
習題8.3191
8.4含時(shí)間問(wèn)題的格林函數192
8.4.1波動(dòng)方程的初值問(wèn)題192
8.4.2熱傳導方程的初值問(wèn)題196
習題8.4198

第9章 數值求解法 199
9.1波動(dòng)方程的差分解法200
9.2熱傳導方程的差分解法201
9.3位勢方程的差分解法203
9.3.1同步迭代法204
9.3.2異步迭代法205
習題9.3207

附錄 208
附錄Ⅰ常用公式208
附錄Ⅱ線(xiàn)性常微分方程的通解214
附錄Ⅲ傅里葉級數216
附錄Ⅳ傅里葉變換表217
附錄Ⅴ拉普拉斯變換表218
部分習題參考答案221

參考文獻249